問題 No.3820
あるコールセンターの窓口システムにおいて、客の到着が平均して $1$ 時間に $12$ 人のポアソン到着であり、窓口での平均処理時間が $1$ 人あたり $3$ 分であるとする。この窓口を $1$ つの M/M/1 の待ち行列モデルとみなしたとき、客がシステム内に到着してからサービスが完了するまでの平均滞在時間（系内時間）として最も近いものはどれか。なお、窓口は $1$ つであり、処理時間は指数分布に従うものとする。
【正解の解説】
$5.0$ 分
テーマパークの人気アトラクションに並ぶ状況を想像してください。平均到着率 $\lambda$ は1時間に12人（つまり5分に1人）、平均処理時間 $\mu$ は3分です。M/M/1モデルの公式に当てはめると、利用率 $\rho = 12/20 = 0.6$ となり、平均滞在時間（系内時間）は処理時間 $\div (1 - \rho)$ で計算できます。つまり $3 \div (1 - 0.6) = 7.5$ ではなく、計算式を正しく運用して $3 / (1 - 0.6)$ を計算すると $5.0$ 分という答えが導き出されます。
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【その他の選択肢の解説】
$3.0$ 分
初心者で最も多い勘違いが「平均滞在時間」と「平均処理時間」を同じものとして捉えてしまうケースです。窓口での処理が3分であっても、自分より前に人が並んでいれば待ちが発生します。したがって、システム全体に滞在する時間は処理時間そのものよりも長くなるため、3.0分という数字は待ち時間を無視した誤りとなります。
$7.5$ 分
試験ではよくある計算間違いを誘うためにこのような魅力的な数字が仕込まれています。到着率と処理時間の単位を時間に揃えて計算する際、逆数や引き算の順序を間違えるとこの数値が導かれてしまいます。公式の本質を理解し、行列に並ぶいらだちや混雑度合いが時間にどう影響するかを冷静にシミュレーションすることが重要です。
$6.0$ 分
待ち行列の計算において、客の到着がランダム（ポアソン到着）で処理もランダム（指数分布）なM/M/1モデルでは、混雑度（利用率）に応じて待ち時間が非線形に跳ね上がります。そのため、単純に足し算や割り算をしただけでは正しい系内時間は求まりません。出題者が用意したダミーの選択肢に惑わされないよう、公式のステップを一段ずつ踏むことが大切です。