問題 No.3791
ある窓口に客が平均して $30$ 分に $1$ 人の割合でランダムに到着し、窓口の処理時間は平均して $20$ 分であるとする。この窓口を $1$ つの M/M/1 の待ち行列モデルとみなしたとき、システム内の平均客数（系内客数）として最も近いものはどれか。なお、到着はポアソン到着、処理時間は指数分布に従うものとする。
【正解の解説】
$2.0$ 人
まず到着率を求めます。30分に1人なので1分あたり1/30人です。処理時間は平均20分なのでサービス率は1分あたり1/20人となります。利用率は到着率をサービス率で割ったもので(1/30) / (1/20) = 2/3となります。M/M/1のシステム内平均客数は利用率を1から利用率を引いたもので割る公式があり、(2/3) / (1 - 2/3) = 2人となります。これは人気のラーメン店で列の進み具合と客の来るペースのバランスから常に2人が店内にいる状態を数式で表したものです。
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【その他の選択肢の解説】
$1.5$ 人
到着率とサービス率から算出される利用率は2/3（約0.67）ですが、これは窓口が埋まっている確率を表すものでありシステム内の平均客数そのものではありません。初学者は混同しやすいポイントですが、客が並んでいる人数は窓口でサービスを受けている人と後ろで待っている人の合計になるため、利用率のままで終わらせず公式に当てはめて計算する必要があります。
$3.0$ 人
サービス率と到着率の関係を逆に捉えてしまい、利用率を逆数にしてしまったりすると得られる数値です。基本情報技術者試験ではこのように数式の要素を一部逆にして引っ掛ける問題がよく出題されます。到着するペースと処理するペースのどちらが分母になるかを公式の意味合いからしっかりとイメージして解くことが重要です。
$4.0$ 人
待ち行列理論の複雑な公式を使わずに、30分と20分という数字の比率から適当に予測して選んでしまいがちな罠の選択肢です。待ち行列の計算は単純な四則演算ではなく確率モデルに基づいているため、公式にきちんと当てはめて導く必要があります。試験本番で焦って直感だけで選ばないように注意が必要です。